Matemática e Computação
 

O comércio mistura os homens, mas não os une. (Autor desconhecido)
Uma das alegrias da amizade é saber em quem confiar. (Alejandro Manzoni)
O amigo é um outro eu. Sem amizade o homem não pode ser feliz. (Aristóteles)

 

 

 

2.3.2 - Transformação de Rotação

Rotacionar siginifica girar.
Se um ponto P de coordenadas (x, y) for rotacionado de um ângulo B em torno da origem, suas coordenadas, que antes eram definidas como: x = R cos A, y = R sen A, passam a ser descritas como x´ = R cos(A+B), y´ = R sen (A+B).
que é equivalente a:

x´=Rcos(A+B)=RcosAcosB-RsenAsenB
y´=Rsen(A+B)=RsenAcosB+RcosAsenB

ou ainda

x´ = x cos B - y sen B
= y cos B + y sen B

Para rotacionar um objeto em torno de um certo eixo às vezes é necessário realizar uma combinação da rotação com a translação.

Realizar uma translação para localizar o objeto na origem do sistema, aplicando a rotação desejada e, então, uma translação inversa para localizar o dado ponto na posição de origem.

Esse mesmo procedimento pode ser utilizado para alterar a escala de um objeto em torno de certo ponto.

Na realidade, diversos efeitos podem ser combinados de maneira análoga.

A rotação ao redor do eixo z é produzida por uma matriz idêntica ao caso 2D apenas extendida para 3x3, deixando o eixo z inalterado, enquanto que os outros dois giram no sentido positivo trigonometricamente, ou seja, anti-horário para quem olha o plano xy do eixo z.

A rotação ao redor do eixo x, deixa o eixo x inalterado, enquanto as demais coordenadas são alteradas em função do ângulo de giro em torno do eixo x.

A rotação ao redor do eixo y, mantém inalterado o eixo y, enquanto os demais mudam em função do ângulo de giro em torno do eixo y.

 

 

Rotação (VRML)

De igual modo o campo rotation, como o nome indica, permite rodar o grupo de nós em torno de um eixo designado pelos primeiros 3 valores do campo, tantos radianos como os referidos no 4º valor.

Obs.: os ângulos são definidos em radianos

radianos = graus / 180.0 × 3.1416

Por outro lado, as rotações positivas são no sentido oposto ao dos ponteiros do relógio.

Como anteriormente, vamos aplicar uma transformação de rotação a uma nova instância do nó ConeAzul criada pela instrução USE, rodando-a 90º em torno do eixo dos XX.

Os principais eixos têm os seguintes valores

Eixos Principais do Sistema de Coordenadas

Eixo dos XX: 1 0 0 Eixo dos YY: 0 1 0 Eixo dos ZZ: 0 0 1

 

Transform {
......children USE ConeAzul
......rotation 1 0 0 1.57
}

Exemplo 2:

#VRML V2.0 utf8
Transform {
......# Um cone é definido e posicionado na origem ......(0 0 0)
......children [
............DEF ConeAzul Shape {
..................geometry Cone {} # Cone
..................appearance Appearance {
........................material Material {
..............................diffuseColor 0 0 1 # Azul
........................}
..................}
............}
............# O cone é rotacionado em torno do eixo ............dos XX

............Transform{
..................children USE ConeAzul
..................rotation 1 0 0 1.57
............}
......]
}

 

De modo a auxiliar-nos na escolha do campo rotation existe uma regra de aplicação prática, que se designa por regra da mão direita (equivalente à chamada regra do saca-rolhas).

Esta regra consiste em:

  • Abrir a mão e alinhar o polegar com a direção positiva do eixo;
  • Encurvar os dedos ao redor do eixo;
  • A direção dos dedos é a direcção positiva da rotação;

que se ilustra nas próximas imagens.

2.3.3 - Transformação de Escala

=====Escalonar siginifica mudar as dimensões de escala. Para fazer com que uma imagem definida mude de tamanho, teremos de multiplicar os valores de suas coordenadas por um fator de escala.

=====Estes fatores de escala em 2D podem, por exemplo, ser Sx e Sy.

=====Em 3D teríamos:

=====Exemplo: Transformaçao em escala de um quadrado azul de vértices (1, 1), (2, 1), (1, 2) e (2, 2) onde os fatores de escala Sx = 3 e Sy = 1.

2.3.4 - Transformação de Reflexão

=====A transformação de reflexão em torno de um eixo, produz um novo objeto que é como se o objeto anterior fosse visto reproduzido por um espelho, posicionado no eixo em torno do qual se faz o espelhamento.

=====A transformação de reflexão em torno de um eixo, produz um novo objeto que é como se o objeto anterior fosse visto reproduzido por um espelho, posicionado no eixo em torno do qual se faz o espelhamento.

=====Podemos também definir uma reflexão em torno de dois eixos. Neste caso, a reflexão é feita em torno da origem do sistema de coordenadas, invertendo ambas as coordenas x e y de cada ponto.